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斜方投射1_補足

斜方投射の式は落体全体の式

斜方投射の式は自由落下、鉛直投射、水平投射を含有している

以下の斜方投射の式が、自由落下運動の式鉛直投射の式水平投射の式含有していることを説明します。

(鉛直向きが正。θ は水平とのなす角、仰角。)

   速度   vx = v0 cosθ   vy = v0 sinθ - g t

   位置   x = v0 cosθt  y = v0 sinθt - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

 軌道の式   y = tanθx - \(\large{\frac{g}{{2\ v_0}^2\cos^2\theta}}\) x2

初速度が 0 のときは自由落下運動に相当する

上記の斜方投射の式において初速度の大きさが v0 = 0 で、鉛直上向き正のところを鉛直下向き正、つまり、- g の部分を + g にすると、

   速度   vx = 0   vy = g t

   位置   x = 0    y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

1次元の運動なので軌道の式はありませんが、その代わりに t を含まない式を求めてみます。

vy = g t を y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2 に代入すると、

    y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g \(\bigl(\large{\frac{v_y}{g}}\bigr)^2\)

     = \(\large{\frac{{v_y}^2}{2\ g}}\)

 ∴  vy2 = 2 g y

というわけで、自由落下運動の式vyv に変更)が得られます。

(鉛直向きが正)

      速度  v = g t

      変位  y = \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 = 2 g y

初速度の向きが鉛直方向(θ=90°,270°)のときは鉛直投射に相当する

θ = 90° のとき、cosθ = 0 、sinθ = 1 ですから、これらを斜方投射の式

   速度   vx = v0 cosθ   vy = v0 sinθ - g t

   位置   x = v0 cosθt  y = v0 sinθt - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

 軌道の式   y = tanθx - \(\large{\frac{g}{{2\ v_0}^2\cos^2\theta}}\) x2

に代入しますと、

   速度   vx = 0   vy = v0 - g t

   位置   x = 0    y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

1次元の運動なので軌道の式はありませんが、その代わりに t を含まない式を求めます。

vy = v0 - g t を変形して、

  ⇒  g t = v0 - vy  ⇒  t = \(\large{\frac{v_0-v_y}{g}}\)

y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2 に代入して t を消去すると、

    y = v0 \(\bigl(\large{\frac{v_0-v_y}{g}}\bigr)\) - \(\large{\frac{1}{2}}\) g \(\bigl(\large{\frac{v_0-v_y}{g}}\bigr)^2\)

     = \(\bigl(\large{\frac{{v_0}^2-v_0v_y}{g}}\bigr)\) - \(\bigl(\large{\frac{{v_0}^2-2v_0v_y+{v_y}^2}{2\ g}}\bigr)\)

     = \(\bigl(\large{\frac{{2v_0}^2-2v_0v_y}{2\ g}}\bigr)\) - \(\bigl(\large{\frac{{v_0}^2-2v_0v_y+{v_y}^2}{2\ g}}\bigr)\)

     = \(\large{\frac{{v_0}^2-{v_y}^2}{2\ g}}\)

 ∴  2 g y = v02 - vy2

 ∴  - 2 g y = vy2 - v02

というわけで、鉛直投射の式vyv に変更)が得られます。

(鉛直向きが正)

      速度  v = v0 - g t

      変位  y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = - 2 g y

θ = 270° のときも同様です。v0 が負の値もとることとすれば、鉛直下方投射の式と鉛直上方投射の式は統合することができます。

初速度の向きが水平方向(θ=0°,180°)のときは水平投射に相当する

θ = 0° のとき、cosθ = 1 、sinθ = 0 、tanθ = 0 ですから、これらを斜方投射の式

   速度   vx = v0 cosθ   vy = v0 sinθ - g t

   位置   x = v0 cosθt  y = v0 sinθt - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

 軌道の式   y = tanθx - \(\large{\frac{g}{{2\ v_0}^2\cos^2\theta}}\) x2

に代入して、鉛直上向き正のところを鉛直下向き正、つまり、- g の部分を + g にすると、水平投射の式が得られます。

(鉛直向きが正)

   速度   vx = v0   vy = g t

   位置   x = v0t    y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

 軌道の式   y = \(\large{\frac{g}{{2\ v_0}^2}}\) x2

θ = 180° のときも同様です。このとき、cosθ = -1 となり、vx = - v0 となりますが、これは右を向いているか左を向いているかという違いしかありません。

見比べ

『鉛直投射』の『見比べ』のように各式を並べてみます。

等加速度直線運動

         v = v0 + a t

         x = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at2

         v2 - v02 = 2ax

自由落下運動鉛直向きが正

      速度  v = g t

      変位  y = \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 = 2 g y

鉛直投射(鉛直下方投射+鉛直上方投射)鉛直向きが正

      速度  v = v0 - g t

      変位  y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = - 2 g y

水平投射鉛直向きが正

     速度  vx = v0  vy = g t

     位置  x = v0t   y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

   軌道の式  y = \(\large{\frac{g}{{2\ v_0}^2}}\) x2

斜方投射θ は水平とのなす角、仰角。鉛直向きが正

     速度  vx = v0 cosθ   vy = v0 sinθ - g t

     位置  x = v0 cosθt  y = v0 sinθt - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

   軌道の式  y = tanθx - \(\large{\frac{g}{{2\ v_0}^2\cos^2\theta}}\) x2

 

①は落体の運動とは限らない一般的な運動です。②~⑤は落体の運動です。②と③は1次元の運動です。y を用いなくても x のままでも良かったのですが、④、⑤に合わせたわけです。軌道の式というのは xy の関係式のことで、2次元の運動である④、⑤だけに存在します。